Question

7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1和x=-1处分别取得最大值和最小值，且对于?x₁，x₂∈[-1，1]（x₁≠x₂）都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，则函数f（x+1）一定是（　　）

• A． 周期为2的偶函数
• B． 周期为2的奇函数
• C． 周期为4的奇函数
• D． 周期为4的偶函数

Answer 1

分析 由题意可得函数f（x）的周期为4，由此求得ω 的值，再根据f（1）=A，求得φ 的值，可得f（x）的解析式，从而求得函数f（x+1）的解析式，从而得出结论．

解答 解：由题意可得，[-1，1]是f（x）的一个增区间，函数f（x）的周期为2×2=4，
∴$\frac{2π}{ω}$=4，ω=$\frac{π}{2}$，∴f（x）=Asin（$\frac{π}{2}$x+φ）．
再根据f（1）=Asin（$\frac{π}{2}$+φ）=Acosφ=A，可得cosφ=1，
故φ=2kπ，k∈z，f（x）=Asin$\frac{π}{2}$x，函数f（x+1）=Asin$\frac{π}{2}$（x+1）=Acos$\frac{π}{2}$x，
故f（x+1）是周期为4的偶函数，
故选：D．

点评 本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的周期性、奇偶性以及最值，属于基础题．