Question

已知函数f（x）=e^x-x（e为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若不等式f（x）＞ax的解集为P，若M={x|

1

2

≤x≤

3

2

}，且M∩P≠φ，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：（1）先求导数，然后根据函数的单调性研究函数的极值点，连续函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值，那么极小值就是最小值；
（2）根据不等式f（x）＞ax的解集为P，且{x|

1

2

≤x≤2}且两个集合的交集不是空集，可转化成，对任意的x∈[

1

2

，2]，不等式f（x）＞ax有解，将（1+a）x＜e^x变形为 a＜

ex

x

-1，令g（x）=

ex

x

-1，利用导数研究g（x）的最大值，使a小于最大值即可．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x-1，由f′（x）=0得x=0，
当x＞0时f′（x）＞0，
当x＜0时f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减，
∴f（x）_max=f（0）=1．
（2）∵M∩P≠∅，∴f（x）＞ax在区间[

1

2

，

3

2

]上有解，
由f（x）＞ax，得e^x-x＞ax，即a＜

ex

x

-1在[

1

2

，

3

2

]上有解，
令g（x）=

ex

x

-1，x∈[

1

2

，

3

2

]，
∵g′（x）=

ex(x-1)

x2

，
∴g（x）在[

1

2

，1]上单调递减，[1，

3

2

]上单调递增，
又g（

1

2

）=2

e

-1，g（

3

2

）=

2

3

e 

3

2

-1，且g（

1

2

）＞g（

3

2

），
g（x）_max=g（

1

2

）=2

e

-1，
∴a＜2

e

-1．

点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，一般有解求参数问题常常将参数进行分离，转化成研究已知函数在某个区间上的最值问题，属于中档题．