Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，圆M与y轴相切，过原点O作倾斜角为

π

3

的直线n，交直线l于点A，交圆M于不同的两点O、B，且|AO|=|BO|=2．
（1）求圆M和抛物线C的方程；
（2）若P为抛物线C上的动点，求

PM

•

PF

的最小值；
（3）过直线l上的动点Q向圆M作切线，切点分别为S、T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）根据

p

2

=1=OA•cos60°可求出p的值，从而求出抛物线方程，求出圆心和半径可求出⊙M的方程．
（2）先表示出

PM

•

PF

，然后根据点在抛物线上将y消去，求关于x 的二次函数的最小值即可．
（3）以点Q这圆心，QS为半径作⊙Q，则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦，设点Q（-1，t），根据QS²=QM²-4=t²+5，求出直线ST的方程，使直线与t无关，可求出定点坐标．

解答： （1）解：因为

p

2

=OA•cos60°=2×

1

2

=1，
即p=2，所以抛物线C的方程为y²=4x，
设⊙M的半径为r，则r=

OB

2

×

1

cos60°

=2，
所以⊙M的方程为（x-2）²+y²=4．
（2）解：设P（x，y）（x≥0），
则

PM

•

PF

=（2-x，-y）•（1-x，-y）=x²-3x+2+y²=x²+x+2，
所以当x=0时，

PM

•

PF

有最小值为2．
（3）证明：以点Q这圆心，QS为半径作⊙Q，
则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦，
设点Q（-1，t），则QS²=QM²-4=t²+5，
∴⊙Q的方程为（x+1）²+（y-t）²=t²+5，
从而直线ST的方程为3x-ty-2=0（*），

x= 2 3 y=0

一定是方程（*）的解，
∴直线ST恒过一个定点，且该定点坐标为（

2

3

，0）．

点评：本题主要考查了圆的方程和抛物线方程，以及向量数量积的最值和直线恒过定点问题，是一道综合题，有一定的难度．