Question

6．递增数列{a_n}是等差数列，a₂=4，a₄+a₆=20．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列$\left\{{\frac{4}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}公差为d＞0，由a₂=4，a₄+a₆=20可求得公差为d及数列{a_n}的通项公式；
 （2）由（1）知a_n=2n，由裂项法得$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=4×$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），从而可求得数列$\left\{{\frac{4}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和S_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}公差为d，则d＞0，
∵a₄+a₆=2a₅=20，
∴a₅=10，又a₂=4，
∴d=$\frac{{a}_{5}{-a}_{2}}{5-2}$=2，
∴a_n=a₂+（n-2）d=4+2（n-2）=2n；       
（2）∵$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的求和，突出考查裂项法的应用，求得数列{a_n}的通项公式是关键，属于中档题．