Question

双曲线的两条渐近线方程x+y=0和x-y=0，直线2x-y-3=0与双曲线交于A、B两点，若|AB|=

5

，求此双曲线的方程．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由渐近线方程可设双曲线的方程为x²-y²=m（m≠0），联立直线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和弦长公式，解关于m的方程，即可得到双曲线的方程．

解答： 解：由于双曲线的两条渐近线方程x+y=0和x-y=0，
则可设双曲线的方程为x²-y²=m（m≠0），
由

2x-y-3=0 x2-y2=m

可得3x²-12x+m+9=0，
判别式△=12²-12（m+9）＞0，即有m＜3，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=4，x₁x₂=

m+9

3

，
则|AB|=

1+22

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

42- 4(m+9) 3

=

5

，
解得m=

9

4

．
则双曲线的方程为x²-y²=

9

4

．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和双曲线的方程的关系，考查直线方程和双曲线方程联立，运用弦长公式，考查运算能力，属于基础题．