Question

已]知f（x）=x|x-a|-2．
（1）当a=1时，解f（x）＜|x-2|；
（2）当x∈（0，1）时，f（x）＜x²-1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）利用a=1，化简不等式，通过x≥2，1≤x＜2，x＜1分别去掉绝对值符号，然后求解不等式即可．
（2）当x∈（0，1]时，f（x）＜x²-1恒成立，转化为a的表达式，通过函数的单调性以及基本不等式求出表达式的最值，得到a的范围．

解答： 解：（1）a=1，f（x）＜|x-2|即为x|x-1|-2＜|x-2|．
①当x≥2时，上式化为x（x-1）-2＜x-2，又x≥2，∴x∈∅；
②当1≤x＜2时，由x|x-1|-2＜|x-2|，可得x（x-1）-2＜2-x，解得-2＜x＜2，
又1≤x＜2，∴1≤x＜2；
③当x＜1时，x|x-1|-2＜|x-2|可得x（1-x）-2＜2-x，解得x＜1；
综上不等式的解集为{x|x＜2}．
（2）当x∈（0，1]时，f（x）＜x²-1即x|x-a|-2＜x²-1恒成立，
即|x-a|＜x+

1

x

，即有-

1

x

＜a＜2x+

1

x

在x∈（0，1]上恒成立．
而g（x）=-

1

x

在（0，1]上为增函数，所以g（x）_max=g（1）=-1．．
h（x）=2x+

1

x

≥2

2x• 1 x

=2

2

．当且仅当2x=

1

x

，即x=

2

2

取等号．
即有a的取值范围为-1＜a＜2

2

．

点评：本题考查绝对值不等式，函数的恒成立问题注意运用参数分离，转化为求函数的最值，考查函数的单调性，分类讨论思想，属于中档题和易错题．