Question

给出下列命题
（1）函数f（x）=

1-ex

1+ex

是偶函数
（2）函数f（x）=

1

2x+4

的对称中心为（2，

1

8

） 
（3）长方体的长宽高分别为a，b，c，对角线长为l，则l²=a²+b²+c²
（4）在x∈[0，1]时，函数f（x）=log_a（2-ax）是减函数，则实数a的取值范围是（1，2）
（5）函数f（x）=

1

x

在定义域内既使奇函数又是减函数．
则命题正确的是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,阅读型,函数的性质及应用

分析：由函数的奇偶性的定义，即可判断（1）；运用f（x）满足f（a+x）+f（a-x）=2b，则f（x）关于点（a，b）对称，即可判断（2）；由长方体的对角线的性质，即可判断（3）；由一次函数的单调性和对数函数的单调性即可求得1＜a＜2，即可判断（4）；求出反比例函数的奇偶性和单调区间，即可判断（5）．

解答： 解：对于（1），f（x）的定义域为R，f（-x）=

1-e-x

1+e-x

=

ex-1

ex+1

=-f（x），
即f（x）为奇函数，则（1）错误；
对于（2），由于f（2+x）+f（2-x）=

1

22+x+4

+

1

22-x+4

=

1

4(2x+1)

+

2x

4(1+2x)

=

1

4

，
则f（x）关于点（2，

1

8

）对称，则（2）正确；
对于（3），长方体的长宽高分别为a，b，c，对角线长为l，则l²=a²+b²+c²，则（3）正确；
对于（4），在x∈[0，1]时，函数f（x）=log_a（2-ax）是减函数，由t=2-ax为递减函数，则a＞1，
又2-a＞0，解得a＜2，即有1＜a＜2．则（4）正确；
对于（5），函数f（x）=

1

x

在定义域内为奇函数，在（-∞，0），（0，+∞）是减函数，
不能说f（x）在定义域内为减函数，比如f（-1）＜f（1），则（5）错误．
故答案为：（2）（3）（4）．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性以及对称性的判断和运用，考查长方体的对角线性质，考查运算能力，属于基础题和易错题．