Question

已知公比为负值的等比数列{a_n}中，a₁a₅=4，a₄=-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

n+1

1×2

+

n+1

2×3

+…+

n+1

n(n+1)

，求数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等比数列{a_n}的公比为q＜0，由a₁a₅=4，a₄=-1．可得

a

2 1

q4=4，a1q3=-1，解得即可；
（2）由b_n=

n+1

1×2

+

n+1

2×3

+…+

n+1

n(n+1)

=（n+1）[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=n，可得a_n+b_n=

8

(-2)n-1

+n，再利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q＜0，
∵a₁a₅=4，a₄=-1．
∴

a

2 1

q4=4，a1q3=-1，解得q=-

1

2

，a₁=8．
∴an=8×(-

1

2

)n-1=

8

(-2)n-1

．
（2）∵b_n=

n+1

1×2

+

n+1

2×3

+…+

n+1

n(n+1)

=（n+1）[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=（n+1）×(1-

1

n+1

)=n，
∴a_n+b_n=

8

(-2)n-1

+n，
其前n项和S_n=8×

1-(- 1 2 )n

1-(- 1 2 )

+

n(n+1)

2

=

16

3

[1-(-

1

2

)n]+

n(n+1)

2

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．