Question

设f（x）=mx²+3（m-4）x-9
（1）是判断函数f（x）零点的个数；
（2）若函数f（x）有两个零点，试确定m的值，是f（x）的两个零点距离最小，并求出这个距离的最小值；
（3）若m=1时，x∈[0，2]上x使f（x）-a≤0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）分别讨论m=0和m≠0两种情况，利用一次函数和二次函数的零点判断方法分别判断零点个数；（2）利用韦达定理，将d=|x₁-x₂|转化为关于m的函数，利用配方法求最值即可；（3）将所求恒成立问题转化为求函数f（x）的最值问题，利用二次函数的单调性求函数f（x）在[0，2]上的最小值即可．

解答： 解：（1）当m=0时，f（x）=-12x-9，函数的零点为x=-

3

4

，即函数只有一个零点．
当m≠0时，△=9（m-4）²+36m=（m-2）²+12＞0，
∴函数f（x）的零点的个数为2．
故当m=0时，函数f（x）的零点的个数为1；当m≠0时，函数f（x）的零点的个数为2；
（2）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，则m≠0，
x₁+x₂=

12-3m

m

，x₁•x₂=-

9

m

，
∴d=|x₁-x₂|=

(x1-x2)2-4x1x2

=

( 12-3m m )2+ 36 m

=12

( 1 m - 1 8 )2+ 3 64

≥12×

3 64

=

3 3

2

（m=8时取等号），
∴d=|x₁-x₂|的最小值为

3 3

2

；
（3）若m=1，则f（x）=x²-9x-9，
∴不等式f（x）-a＞0对x∈[0，2]恒成立，
即x²-9x-9＞a对x∈[0，2]恒成立，
只需f（x）在[0，2]上的最小值大于a．
∵f（x）=x²-9x-9=（x-

9

2

）²-

117

4

≥f（2）=-23，
解得：a＜-23．

点评：本题考查了二次函数零点判断方法，二次方程根与系数关系的应用，不等式恒成立问题的解法及配方法求二次函数的最值，考查了数学转化思想方法，是中档题．