Question

【题目】已知函数， 为自然对数的底数， .

（1）试讨论函数的单调性；

（2）当时， 恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 当时， 在上单调递增；当时， 在上单调递增，在上单调递减.

(2) .

【解析】试题分析：（1）对函数求导，关注定义域，对参数 a进行讨论，得出函数的单调性；（2）解决恒成立的最基本方法就是分离参数，化为对时恒成立．设右边为函数g(x),通过两次求导研究函数g(x)的单调性和最大值，最后利用极值原理得出a的范围.

试题解析：

（1）的定义域为， ．

若时，则，∴在上单调递增；

若时，则由，∴．

当时， ，∴在上单调递增；

当时， ，∴在上单调递减．

综上所述，当时， 在上单调递增；

当时， 在上单调递增，在上单调递减．

（2）由题意得： 对时恒成立，

∴对时恒成立．

令，（ ），

∴．　

令，

∴对时恒成立，

∴在上单调递减，

∵，

∴当时， ，∴， 在上单调递增；

当时， ，∴， 在上单调递减.

∴在处取得最大值，

∴的取值范围是.