Question

已知函数g（x）=x²+ln（x+a），其中a为常数．
（1）讨论函数g（x）的单调性；
（2）若g（x）存在两个极值点x₁，x₂，求证：无论实数a取什么值都有

g(x1)+g(x2)

2

＞g(

x1+x2

2

)．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）利用求导法则求出函数g（x）的导函数，把导函数解析式通分化简，分4a²-8≤0，或4a²-8＞0两种情况讨论函数的单调性；
（2）当a＞

2

时，函数g（x）在（

-a+ a2-2

2

，+∞）或（-a，

-a- a2-2

2

）上单调递增，在（

-a- a2-2

2

，

-a+ a2-2

2

）上单调递减；

g(x1)+g(x2)

2

=

x12+ln(x1+a)+x22+ln(x2+a)

2

=

1

2

a²-

1

2

-

1

2

ln2，g（

x1+x2

2

）=g（-

a

2

）=

1

4

a2+ln

a

2

；令f（a）=

1

4

a2-lna+

1

2

ln2-

1

2

，从而得证．

解答： 解：（1）∵g（x）=x²+ln（x+a），
∴函数的定义域为（-a，+∞）
∴g′（x）=2x+

1

x+a

，
令2x+

1

x+a

＞0，
2x²+2ax+1＞0，
当4a²-8≤0时，即-

2

≤a≤

2

时，g′（x）≥0，即函数g（x）在（-a，+∞）单调递增，
当4a²-8＞0时，即a＞

2

，或a＜-

2

时，
令g′（x）=0，解得x=

-a+ a2-2

2

，或x=

-a- a2-2

2

，
①若a＞

2

，
当g′（x）＞0时，即x＞

-a+ a2-2

2

，或-a＜x＜

-a- a2-2

2

，函数g（x）单调递增，
当g′（x）＜0时，即

-a- a2-2

2

＜x＜

-a+ a2-2

2

，函数g（x）单调递减，
②若a＜-

2

，g′（x）＞0，即函数g（x）在（-a，+∞）单调递增，
综上所述：当a≤

2

时，即函数g（x）在（-a，+∞）单调递增，
当a＞

2

时，函数g（x）在（

-a+ a2-2

2

，+∞）或（-a，

-a- a2-2

2

）上单调递增，
在（

-a- a2-2

2

，

-a+ a2-2

2

）上单调递减，
（2）由（1）可知，当a＞

2

时，函数g（x）在（

-a+ a2-2

2

，+∞）或（-a，

-a- a2-2

2

）上单调递增，
在（

-a- a2-2

2

，

-a+ a2-2

2

）上单调递减，
x₁+x₂=-a；x₁•x₂=

1

2

，

g(x1)+g(x2)

2

=

x12+ln(x1+a)+x22+ln(x2+a)

2

=

1

2

a²-

1

2

-

1

2

ln2，
g（

x1+x2

2

）=g（-

a

2

）=

1

4

a2+ln

a

2

；
故

g(x1)+g(x2)

2

-g（

x1+x2

2

）
=（

1

2

a²-

1

2

-

1

2

ln2）-（

1

4

a2+ln

a

2

）
=

1

4

a2-lna+

1

2

ln2-

1

2

；
令f（a）=

1

4

a2-lna+

1

2

ln2-

1

2

，
则f′（a）=

1

2

a-

1

a

=

a2-2

2a

，
∵a＞

2

，∴

a2-2

2a

＞0；
∴f（a）=

1

4

a2-lna+

1

2

ln2-

1

2

在（

2

，+∞）上增函数，
且f（

2

）=0，
故

1

4

a2-lna+

1

2

ln2-

1

2

＞0，
故无论实数a取什么值都有

g(x1)+g(x2)

2

＞g(

x1+x2

2

)．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题，属于难题．