Question

下列命题为真命题的是

 

．（用序号表示即可）
①cos1＞cos2＞cos3；
②若a_n=a_n+3且a_n=n+3（n=1、2、3），则a₂₀₁₃＜a₂₀₁₄＜a₂₀₁₅；
③若e₁、e₂、e₃分别为双曲线x²-

y2

3

=1、

x2

4

-

y2

3

=1、

x2

4

-y²=1的离心率，则e₁＞e₂＞e₃；
④若x₁＞x₂＞x₃，则lgx₁＞lgx₂＞lgx₃．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①1＜

π

2

＜2＜3＜π，利用y=cosx在（0，π）上单调递减的性质可判断①；
②利用数列{a_n}是以3为周期的函数，可求得a₂₀₁₃=a₃，a₂₀₁₄=a₁，a₂₀₁₅=a₂，结合a_n=n+3（n=1、2、3），可判断②；
③利用双曲线的性质可求得e₁=2，e₂=

7

2

，e₃=

5

2

，从而可判断③；
④利用对数的定义域为（0，+∞），可判断④．

解答： 解：对于①，由于1＜

π

2

＜2＜3＜π，y=cosx在（0，π）上单调递减，
所以cos1＞cos2＞cos3，故①正确；
对于②，由a_n=a_n+3得数列{a_n}是以3为周期的函数，故a₂₀₁₃=a₃，a₂₀₁₄=a₁，a₂₀₁₅=a₂，
又a_n=n+3 （n=1、2、3），故②错；
对于③，因为e₁=2，e₂=

7

2

，e₃=

5

2

，故e₁＞e₂＞e₃，故③正确；
对于④，对数函数定义域必须大于0，故④错．
故答案为：①③．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查余弦函数的单调性，数列的周期性及双曲线的离心率，考查转化思想．