Question

如图，某山区的两个工厂A、B直线距离14km，工厂C距A、B直线距离都是25km，E为线段AB的中点，在线段CE上选建变电站D，并从点D处铺设到工厂A，B，C的输电线DA，DB，DC．
（1）变电站D建在何处，可使铺设的总输电线长最短？
（2）因山区复杂条件，希望铺设的三段输电线中最远一段的长度为最小，那么变电站D建在何处？

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）设DE=xkm，铺设的总输电线长为lkm，由题意求出|CD|，|DA|的长度，得到总输电线长l与x的函数关系式，利用导数求得最小值得答案；
（2）设DE=xkm，铺设的三段输电线中最远一段的长度为d（x）km，然后写出分段函数，根据分段函数的单调性得到三段输电线中最远一段的长度为最小时的D的位置．

解答： 解：（1）设DE=xkm，铺设的总输电线长为lkm，根据题意，
|CE|=

252-72

=24，|CD|=24-x，|DA|=|DB|=

x2+49

，
则l（x）=24-x+2

x2+49

（0≤x≤24）．
l′(x)=-1+

2x

x2+49

，令l′（x）=0，得x=

7 3

3

．
当x∈(0，

7 3

3

)时，l′（x）＜0，l（x）单调递减，
x∈(

7 3

3

，24)时，l′（x）＞0，l（x）单调递增，
∴当x=

7 3

3

时l（x）最小，
于是，变电站D建在线段CE上距点E

7 3

3

km处，可使铺设的总输电线长最短；
（2）设DE=xkm，铺设的三段输电线中最远一段的长度为d（x）km，则有
d（x）=max{24-x，

x2+49

}（0≤x≤24），
d(x)=

24-x，24-x≥ x2+49 x2+49 ，24-x＜ x2+49

=

24-x，0≤x≤ 569 48 x2+49 ， 569 48 ＜x≤24

．
当x∈[0，

569

48

]时，d（x）=24-x单调递减，x∈(

569

48

，24]时，d（x）=

x2+49

单调递增，
∴x=

569

48

时，d（x）取得最小值．
于是变电站D建在线段CE上距点E

569

48

km处，可使铺设的三段输电线中最远一段的长度为最小．

点评：本题考查了简单的数学建模思想方法，考查了分段函数的应用，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．