Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率e=

2 3

3

，经过A（a，0），B（0，-b）两点的直线l与原点的距离d=

3

2

（1）求双曲线C的方程；
（2）直线y=kx+5与双曲线C交于M，N两点，若|BM|=|BN|，求斜率k的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意可得，

e= c a = 2 3 3 a2+b2 • 3 2 =ab c2=a2+b2

，从而解出双曲线C的方程；
（2）由题意可得

y=kx+5 x2-3y2=3

，即（1-3k²）x²-30kx-78=0，从而得到中点E（

15k

1-3k2

，

5

1-3k2

），从而得到k•

2-k2

5k

=-1，从而求解．

解答： 解：（1）由题意可得，

e= c a = 2 3 3 a2+b2 • 3 2 =ab c2=a2+b2

，
解得，a=

3

，b=1，c=2；
故双曲线C的方程为：

x2

3

-y2=1；
（2）由题意可得

y=kx+5 x2-3y2=3

，
即（1-3k²）x²-30kx-78=0，
设MN的中点为E，
则E（

15k

1-3k2

，

5

1-3k2

），
则k_EB=

2-k2

5k

，
则k•

2-k2

5k

=-1，
解得，k=±

7

．

点评：本题考查了圆锥曲线的定义及性质，同时考查了直线与圆锥曲线的关系，属于难题．