Question

设f（x）=

(x-a)2，   x≤0 x+ 1 x +a， x＞0

，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由分段函数可得当x=0时，f（0）=a²，由于f（0）是f（x）的最小值，则（-∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a²≤x+

1

x

+a，x＞0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值2+a，解不等式a²≤2+a，即可得到a的取值范围．

解答： 解：由于f（x）=

(x-a)2，   x≤0 x+ 1 x +a， x＞0

，
则当x=0时，f（0）=a²，
由于f（0）是f（x）的最小值，
则（-∞，0]为减区间，即有a≥0，
则有a²≤x+

1

x

+a，x＞0恒成立，
由x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，当且仅当x=1取最小值2，
则a²≤2+a，解得-1≤a≤2．
综上，a的取值范围为[0，2]．
故答案为：[0，2]．

点评：本题考察了分段函数的应用，考查函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的应用，是一道中档题，也是易错题．