Question

【题目】已知椭圆 的四个顶点组成的四边形的面积为 ，且经过点 ．

（1）求椭圆 的方程；
（2）若椭圆 的下顶点为 ，如图所示，点 为直线 上的一个动点，过椭圆 的右焦点 的直线 垂直于 ，且与 交于 两点，与 交于点 ，四边形 和 的面积分别为 ．求 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为 在椭圆 上，所以 ，
又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为 ，所以 ，
解得 ，所以椭圆 的方程为
（2）解：由（1）可知 ，设 ，
则当 时， ，所以 ，
直线 的方程为 ，即 ，
由 得 ，
则 ，
，
，
又 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
当 ，直线 ， ， ， ， ，
所以当 时，
【解析】(1)由条件得到关于a,b,c的方程组求a,b,c得到椭圆方程;
(2)设出直线AB的反演式方程,代入到椭圆方程中,消去y得到关于x的一元二次方程,由韦达定理得到两根和与积,再将三角形与四边形的面积之积表示为m的函数式,用均值不等式求最值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．