Question

【题目】已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆 过点 ，直线 过椭圆 的右焦点 且与椭圆 交于 两点.
(Ⅰ)求椭圆 的标准方程；
(Ⅱ)已知点 ，求证：若圆 与直线 相切，则圆 与直线 也相切.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c(c>0)，依题意，
解得 ，c=1，故椭圆C的标准方程为 ；
（Ⅱ）证明：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 ，M ， N两点关于x轴对称，点P（4,0）在x轴上，所以直线PM与直线PN关于x轴对称，所以点O到直线PM与直线PN的距离相等，故若圆 与直线PM相切，则也会与直线PN相切；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ， ， ，
由 得：
所以 ， ，
， ，

，
所以， ，于是点O到直线PM与直线的距离PN相等，
故若圆 与直线PM相切，则也会与直线PN相切；
综上所述，若圆 与直线PM相切，则圆 与直线PN也相切
【解析】(1)利用已知条件列出关于a、b的方程组，即可得到椭圆C的标准方程。(2)根据题意对直线的斜率分类讨论，若圆与直线相切等价于kPM+kPN=0联立方程借助韦达定理即可证明等式即可。
【考点精析】认真审题，首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：)．