Question

【题目】如图，已知 是直角梯形， ， ， ， ， 平面 ．

（Ⅰ） 上是否存在点 使 平面 ，若存在，指出 的位置并证明，若不存在，请说明理由；（Ⅱ）证明： ；
（Ⅲ）若 ，求点 到平面 的距离．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当 为 中点时满足题意理由如下：
取 的中点为 ，连结 ．

∵ ， ，∴ ，且 ，∴四边形 是平行四边形，即 ．
∵ 平面 ，∴ 平面 ．
∵ 分别是 的中点，∴ ，∵ 平面 ，∴ 平面 ．
∵ ，∴平面 平面 ．
∵ 平面 ，∴ 平面 ．
（Ⅱ）由已知易得 ， ．
∵ ，
∴ ，即 ．
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ．
∵ ，
∴ 平面
∵ 平面 ，
∴ ．
（Ⅲ）由已知得 ，所以 ．
又 ，则 ，由 得 ，
∵ ，∴ 到平面 的距离为 ．
【解析】(1)根据题意作出辅助线结合已知条件即可得证四边形 B C D F 是平行四边形即 B F / / C D，由线面平行的判定定理即可得证B F / / 平面 P C D，再由线面平行的性质定理得到 E F / / P D以及 E F / / 平面 P C D ，利用面面平行的判定定理即可得证平面 B E F / / 平面 P C D从而得证 B E / / 平面 P C D。(2)根据题意结合已知条件代入数值到三棱锥的体积公式求出结果即可。