Question

12．数列{a_n}的前n项和为A_n=n²+bn，数列{b_n}是等比数列，公比q＞0，且满足a₁=b₁=2，b₂，a₃，b₃成等差数列；
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足c_n=b_n+$\frac{1}{A_n}$，求c_n的前n项和．

Answer 1

分析 （1）令n=1得出b，于是a_n=A_n-A_n-1，根据b₂，a₃，b₃成等差数列求出q，从而得出b_n；
（2）使用分项求和与列项求和计算c_n的前n项和．

解答 解：（1）∵A_n=n²+bn，
∴当n=1时，a₁=1+b=2，∴b=1．
∴当n≥2时，a_n=A_n-A_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n．
显然当n=1时，上式仍成立．
∴a_n=2n．
∵数列{b_n}是等比数列，公比为q，b₁=2．
∴b₂=2q，b₃=2q²．又a₃=6，b₂，a₃，b₃成等差数列，
∴2q+2q²=12．解得q=2或q=-3（舍）．
∴b_n=2•2^n-1=2ⁿ．
（2）c_n=2ⁿ+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=2ⁿ+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
设{c_n}的前n项和为S_n，
则S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ+（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+（1-$\frac{1}{n+1}$）
=2ⁿ⁺¹-$\frac{1}{n+1}$-1．

点评 本题考查了数列的通项公式，等比数列的求和公式，属于中档题．