Question

1．已知集合A={x|0≤x≤1}，f（x）=x²-2ax+3a-2，（a∈R）．
（1）设f（x）＜0的解集为B，当A∩B=A时．求实数a的取值范围；
（2）当x∈A时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用A∩B=A，可得A⊆B．进而有$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＜0}\\{f（1）＜0}\end{array}\right.$，解不等式，即可求实数a的取值范围；
（2）当x∈A时，分类讨论，利用配方法求函数f（x）的最小值．

解答 解：（1）∵A∩B=A，∴A⊆B．
∵A={x|0≤x≤1}，f（x）=x²-2ax+3a-2，f（x）＜0的解集为B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＜0}\\{f（1）＜0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{3a-2＜0}\\{a-1＜0}\end{array}\right.$，∴a＜$\frac{2}{3}$；
（2）f（x）=x²-2ax+3a-2=（x-a）²-a²+3a-2，对称轴方程x=a．
a＜0时，函数在[0，1]上单调递增，x=0，f（x）_min=3a-2；
0≤a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，函数在[a，1]上单调递增，x=a，f（x）_min=-a²+3a-2；
a＞1时，函数在[0，1]上单调递减，x=1，f（x）_min=a-1．

点评 本题考查集合的关系，考查二次函数的最小值，考查函数思想的运用，属于中档题．