Question

9．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+b，若x∈[-2，2]时，恒有|f（x）|≤1，则ab的最大值是$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 由对于任意x∈[-2，2]，都有|f（x）|≤1成立，可得（a，b）对应的可行域，进而根据基本不等式得到ab的最大值．

解答 解：函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+b图象的顶点为（0，b），
若对于任意x∈[-2，2]，都有|f（x）|≤1成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{-1≤2a+b≤1}\\{-1≤b≤1}\end{array}\right.$，
其对应的平面区域如右图所示：
令Z=ab，则在第一，三象限a，b同号时ab取最大值，
由2a+b=1，a＞0，b＞0得：ab=$\frac{2ab}{2}$≤$\frac{1}{2}$•（$\frac{2a+b}{2}$）²=$\frac{1}{8}$，
当且仅当2a=b=$\frac{1}{2}$时，取得最大值$\frac{1}{8}$．
故答案为：$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查的知识点是恒成立问题，线性规划，基本不等式，是不等式和函数的综合应用，难度中档．