Question

13．如图，正方形ABCD所在平面与直角三角形ABE所在的平面相互垂直，AE⊥AB，设M，N分别是DE，AB的中点，已知AB=2，AE=1．
（1）求证：MN∥平面BEC；
（2）求三棱锥N-BCE的体积．

Answer 1

分析 （1）取EC中点F，连接MF，BF．由线线平行证明线面平行；
（2）证明CB⊥平面ABE，利用等体积转换，即可求三棱锥N-BCE的体积．

解答 证明：（1）取EC中点F，连接MF，BF．
∵MF为△CDE的中位线，
∴MF∥CD，MF=$\frac{1}{2}$CD，
又∵NB∥CD，NB=$\frac{1}{2}$CD，
∴NB∥MF，NB=MF
∴四边形NBFM为平行四边形，
∴MN∥BF，又∵BF⊆平面BEC，MN?平面BEC，
∴MN∥平面BEC；
解：（2）∵正方形ABCD所在平面与直角三角形ABE所在的平面相互垂直，正方形ABCD所在平面与直角三角形ABE所在的平面相交于AB，CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABE，
∴V_N-BCE=V_C-BNE=$\frac{1}{3}{S}_{△BEN}•CB$=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1•1•2$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题综合考查了空间中线面的位置关系，考查体积的计算，正确转换底面是关键，属于中档题．