Question

从1，2，3，…n中这n个数中取m（m，n∈N^*，3≤m≤n）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为f（n，m）．
（Ⅰ）当n=5，m=3时，写出所有可能的递增等差数列及f（5，3）的值；
（Ⅱ）求f（100，10）；
（Ⅲ）求证：f（n，m）＞

(n-m)(n+1)

2(m-1)

．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据f（n，m）的定义，可得所有可能的递增等差数列及f（5，3）的值；
（Ⅱ）设满足条件的一个等差数列首项为a₁，公差为d，d∈N^*．确定d的可能取值为1，2，3，…，11，即可求f（100，10）；
（Ⅲ）设等差数列首项为a₁，公差为d，a_m=a₁+（m-1）d，则d=

am-a1

m-1

≤

n-1

m-1

，对于给定的d，a₁=a_m-（m-1）d，当a₁分别取1，2，3，…，n-（m-1）时，可得递增等差数列n-（m-1）d个．所以当d取1，2，3，…，t时，得符合要求的等差数列的个数f（n，m）=nt-（m-1）•

t(t+1)

2

，确定|

n-m

m-1

-

2n-m+1

2(m-1)

|＞|

2n-m+1

2(m-1)

-

n-1

m-1

|，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：符合要求的递增等差数列为1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4个．
∴f（5，3）=4．…（3分）
（Ⅱ）解：设满足条件的一个等差数列首项为a₁，公差为d，d∈N^*．
∵a₁₀=a₁+9d，
∴d=

a10-a1

9

≥

100-1

9

=11，
∴d的可能取值为1，2，3，…，11．
对于给定的d，a₁=a₁₀-9d≤100-9d，当a₁分别取1，2，3，…，100-9d时，可得递增等差数列100-9d个（如：d=1时，a₁≤91，当a₁分别取1，2，3，…，91时，可得递增等差数列91个：1，2，3，…，11；2，3，…，12；…；91，92，93，…，100，其它同理）．
∴当d取1，2，3，…，11时，可得符合要求的等差数列的个数为：
f（100，10）=100•11-9（1+2+3+…+11）=506．…（8分）
（Ⅲ）证明：设等差数列首项为a₁，公差为d，a_m=a₁+（m-1）d，
∴d=

am-a1

m-1

≤

n-1

m-1

，
记

n-1

m-1

的整数部分是t，则

n-1

m-1

-1＜t≤

n-1

m-1

，即

n-m

m-1

＜t≤

n-1

m-1

．
d的可能取值为1，2，3，…，t，
对于给定的d，a₁=a_m-（m-1）d，当a₁分别取1，2，3，…，n-（m-1）时，可得递增等差数列n-（m-1）d个．
∴当d取1，2，3，…，t时，得符合要求的等差数列的个数f（n，m）=nt-（m-1）•

t(t+1)

2

=-

m-1

2

[t-

2n-m+1

2(m-1)

]²+

(2n-m+1)2

8(m-1)

由题意

n-m

m-1

＜

2n-m+1

2(m-1)

≤

n-1

m-1

．
又∵|

n-m

m-1

-

2n-m+1

2(m-1)

|=

m+1

2(m-1)

，|

2n-m+1

2(m-1)

-

n-1

m-1

|=

m-3

2(m-1)

，
∴|

n-m

m-1

-

2n-m+1

2(m-1)

|＞|

2n-m+1

2(m-1)

-

n-1

m-1

|．
∴f（n，m）＞n•

n-m

m-1

-（m-1）•

n-m m-1 ( n-m m-1 +1)

2

=

(n-m)(n+1)

2(m-1)

．
即f（n，m）＞

(n-m)(n+1)

2(m-1)

．                            …（13分）

点评：本题考查新定义，考查数列知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键，属于难题．