Question

下列四个命题中正确的命题序号是（　　）
①向量

a

，

b

共线的充分必要条件是存在唯一实数λ，使

a

=λ

b

成立．
②函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称．
③ysinθ-cosθ=2y（θ∈[0，π]）成立的充分必要条件是|2y|≤

1+y2

．
④已知U为全集，则x∉A∩B的充分条件是x∈（∁_UA）∩（∁_UB）．

• A、②④
• B、①②
• C、①③
• D、③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①利用向量共线定理即可判断出；
②利用平移变换即可得出；
③利用两角和差的正弦公式和正弦函数的单调性有界性及其充分必要条件即可判断出；
④利用集合的运算即可判断出．

解答： 解：①向量

a

，

b

共线的充分必要条件是存在唯一实数λ，使

a

=λ

b

成立，当

b

=

0

，

a

≠

0

时，不存在实数λ．
可知不正确．
②∵函数y=f（x-1）的图象是将函数y=f（x）的图象向右平移一个单位得到，而y=f（1-x）的图象是把函数y=f（x）先关于y轴对称得出y=f（-x），再将此函数的图象向右平移一个单位得到，因此函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称，故正确；
③由ysinθ-cosθ=2y（θ∈[0，π]）可化为

y2+1

sin(θ-φ)=2y，即sin(θ-φ)=

2y

1+y2

．
则由sin(θ-φ)=

2y

1+y2

成立可得|2y|≤

1+y2

；
反之不成立，因为|2y|≤

1+y2

成立，也可能sin（θ-φ）=

-2y

1+y2

成立．
因此|2y|≤

1+y2

是ysinθ-cosθ=2y（θ∈[0，π]）成立必要非充分条件，因此不正确．
④已知U为全集，∵（∁_UA）∩（∁_UB）=C_U（A∪B）．
∴x∉A∩B的充分条件是x∈（∁_UA）∩（∁_UB）．故正确．
综上可知：只有②④正确．
故选：A．

点评：本题考查了向量共线定理、平移变换及其对称性、两角和差的正弦公式和正弦函数的单调性有界性、集合的运算等基础知识与基本技能方法，属于难题．