Question

17．若曲线y=e^2x在点（0，1）处的切线的斜率为k，则直线y=kx与曲线y=x²所围成的封闭图形的面积为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 先根据题意求出斜率，确定被积函数与被积区间，求出原函数，即可得到结论．

解答 解：y=e^2x在点（0，1）处的切线的斜率为k，
∴y′=2e^2x，
∴y′|_x=0=2=k，
∴y=2x，
联立方程组得$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴直线y=kx与曲线y=x²所围成的封闭图形的面积为${∫}_{0}^{2}$（2x-x²）dx=（x²-$\frac{1}{3}$x³）|${\;}_{0}^{2}$=4-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$，
故答案为：$\frac{4}{3}$

点评 本题考查面积的计算，解题的关键是确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，属于中档题．