Question

12．一个圆锥被一个平行圆锥底面的平面所截，截得的圆台上，下底面的面积之比是1：16，截取的圆锥的母线长是3cm．
（1）求圆台的母线长；
（2）若圆台上底面的半径为1，求该圆锥展开面的面积．

Answer 1

分析 （1）设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x、4x，利用相似知识，求出圆台的母线长．
（2）根据圆台上底面的半径为1，求出圆锥的底面半径和母线，代入圆锥表面积公式，可得答案．

解答 解：（1）∵截得的圆台上、下底面的面积之比为1：16，
∴圆台的上、下底面半径之比是1：4，

如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x、4x，
根据相似三角形的性质得$\frac{3}{3+y}$=$\frac{x}{4x}$．
解此方程得y=9．
所以圆台的母线长为9cm．
（2）∵圆台上底面的半径为1，
∴圆台下底面的半径，即圆锥的底面半径为4，
由（1）可得；圆锥的母线长为9+3=12，
故圆锥展开面的面积S=πr（r+l）=64π

点评 考查圆锥与圆台的关系，圆锥的表面积公式，考查计算能力，难度不大，属于基础题．