Question

如图，圆锥的高PO＝4，底面半径OB＝2，D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EF⊥DE.

(1)求异面直线EF与BD所成角的余弦值；

(2)求二面角OOFE的正弦值．

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】(1)以O为原点，底面上过O点且垂直于OB的直线为x轴，OB所在的线为y轴，OP所在的线为z轴，建立空间直角坐标系，则

B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)．

设F(x0，y0，0)(x0>0，y0>0)，且＋＝4，

则＝(x0，y0－1，－2)，＝(0，1，0)，

∵EF⊥DE，即⊥，则·＝y0－1＝0，故y0＝1.

∴F(，1，0)，＝(，0，－2)，＝(0，－2，2)．

设异面直线EF与BD所成角为α，则cosα＝.

(2)设平面ODF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则

令x1＝1，得y1＝－，平面ODF的一个法向量为n1＝(1，－，0)．

设平面DEF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，

同理可得平面DEF的一个法向量为n2＝.

设二面角ODFE的平面角为β，则|cosβ|＝＝.

∴sinβ＝.