Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥DB，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=，PB⊥PD。

（1）求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
（2）求二面角P-AB-C的大小；
（3）设点M在棱PC上，且=λ，问λ为何值时，PC⊥平面BMD。

Answer 1

解：∵PO⊥平面ABCD， ∴PO⊥BD 又PB⊥PD，BO=2，PO=， ∴OD=OC=1，BO=AO=2， 以O为原点，OA、OB、OP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则各点坐标为O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，）。 （1）∵， ∴ ∴ 故直线PD与BC所成角的余弦值为。 （2）设平面PAB的一个法向量为n=（x，y，z） 由于 得 令x=1，则y=1，z= ∴n=（1，1，） 又易知平面ABCD的一个法向量m=（0，0，1）， ∴cos〈m，n〉= 又二面角P-AB-C是锐角， ∴所求二面角P-AB-C的大小为45°。 （3）设M（x0，0，z0），由于P、M、C三点共线， ∴ ① ∵PC⊥平面BMD， ∴OM⊥PC ∴（-1，0，-）·（x0，0，z0）=0 ∴ ② 由①②知 ∴ ∴=2 故λ=2时，PC⊥平面BMD。