Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知双曲线分别为的左，右顶点.

(1)以为圆心的圆与恰有三个不同的公共点，写出此圆的方程；

(2)直线过点,与在第一象限有公共点,线段的垂直平分线过点,求直线的方程；

(3)上是否存在异于点,使成立，若存在，求出所有的坐标，若不存在说明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2) ；（3）不存在，理由见解析

【解析】

（1）求双曲线的左右顶点，可得以A为圆心的圆经过B,求得半径，可得所求圆的方程（2）设直线l的方程为，（），联立双曲线方程，运用韦达定理，可得P的坐标，由中点坐标公式可得AP的中点坐标，再由两直线垂直的条件，解方程可得，进而得到所求直线方程（3）假设l上存在异于A,B点M,N，使成立，设，运用向量的坐标表示和点满足双曲线方程，解方程可得M的坐标，即可判断是否存在.

(1)因为双曲线为

所以左右顶点，

由题意可得以A为圆心的圆经过B,

则圆的半径，圆的方程为.

(2)直线过点，且直线的斜率存在，

设直线的方程为，

联立双曲线方程消去y，可得，

可得，可得，

可得的中点坐标为，

由题意可得，即为，解得(负的舍去)，

则直线的方程为；

(3)设,

因为,

所以

把代入双曲线方程得:

,与点重合,故不存在.