Question

【题目】某饮料生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2017年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，饮料的年销售量x万件与年促销费t万元间满足.已知2017年生产饮料的设备折旧，维修等固定费用为3万元，每生产1万件饮料需再投入32万元的生产费用，若将每件饮料的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则该年生产的饮料正好能销售完．

(1)将2017年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；

(2)该企业2017年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 该企业2017年的促销费投入7万元时，企业的年利润最大为42万元.

【解析】试题（1）根据年利润等于年销量与单个利润的乘积，列函数关系式（2）分离变量，利用基本不等式求最值，根据等号取法条件确定促销费

试题解析：(1)当年销量为x万件时，成本为3＋32x(万元)．

饮料的售价为×150%＋× (万元/万件)，

所以年利润y＝x－(3＋32x＋t)(万元)，

把x＝代入整理得到y＝，其中t≥0.

(2)由(1)知y＝＝＝50－≤50－2＝42(万元)，

当且仅当＝，即t＝7时，ymax＝42.

所以该企业2017年的促销费投入7万元时，企业的年利润最大为42万元．