Question

持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一．为此，某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：

年龄（岁）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75]
频数	5	10	15	10	5	5
赞成人数	4	6	9	6	3	4

（Ⅰ）请估计该市公众对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值；
（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷，记η为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数，求使概率P（η=k）取得最大值的整数k．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）利用频数统计表能求出该市公众对“车辆限行”的赞成率和被调查者年龄的平均值．
（Ⅱ）依题意得ξ=0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．
（Ⅲ）由P（=k）=

C k 32 C 20-k 18

C 20 50

，其中k=2，3，4，…，20．得到

C k+1 32 C 19-k 18

C k 32 C 20-k 18

=

(32-k)(20-k)

(k+1)(k-1)

，由此能求出使概率P（η=k）取得最大值的整数k．

解答： 满分（13分）．
解：（Ⅰ）该市公众对“车辆限行”的赞成率约为：

32

50

×100%=64%．…（2分）
被调查者年龄的平均约为：

20×5+30×10+40×15+50×10+60×5+70×5

50

=43．…（4分）
（Ⅱ）依题意得ξ=0，1，2，3，…（5分）
P（ξ=0）=

C 2 4

C 2 5

•

C 2 6

C 2 10

=

6

10

•

15

45

=

15

75

，
P（ξ=1）=

C 1 4

C 2 5

•

C 2 6

C 2 10

+

C 2 4

C 2 5

•

C 1 4 C 1 6

C 2 10

=

34

75

，
P（ξ=2）=

C 1 4

C 2 5

•

C 2 4

C 2 10

=

22

75

，
P（ξ=3）=

C 1 4

C 2 5

•

C 2 4

C 2 10

=

4

75

，…（7分）
所以ξ的分布列是：

ξ	0	1	2	3
P	15 75	34 75	22 75	4 75

所以ξ的数学期望Eξ=0×

15

75

+1×

34

75

+2×

22

75

+3×

4

75

=

6

5

． …（9分）
（Ⅲ）∵P（=k）=

C k 32 C 20-k 18

C 20 50

，其中k=2，3，4，…，20．…（10分）
∴

C k+1 32 C 19-k 18

C k 32 C 20-k 18

=

(32-k)(20-k)

(k+1)(k-1)

，…（11分）
当

(32-k)(20-k)

(k+1)(k-1)

≥1，即k≤12+

17

52

时，P（η=k+1）≥P（η=k）；
当

(32-k)(20-k)

(k+1)(k-11)

＜1，即k＞12+

17

52

时，P（η=k+1）＜P（η=k）．…（12分）
即P（η=2）＜P（η=3）＜P（η=4）＜…＜P（η=13），
P（η=13）＞P（η=14）＞P（η=15）＞…＞P（η=20）．
故有：P（η=k）取得最大值时k=13．…（13分）

点评：本小题主要考查样本频率分布、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．