Question

17．已知函数f（x）=（x-m）（e^x-1）+x+1，m∈R．
（1）求f（x）在[0，1]上的最小值；
（2）若m为整数，当x＞0时，f（x）＞0恒成立，求m的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导函数，讨论m的取值，研究函数在[0，1]上的单调性进行求解即可得到结论．
（2）把当x＞0时f（x）＞0恒成立，转化为m＜$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，构造函数g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，利用导数求得函数g（x）的最小值的范围得答案．

解答 解：（1）函数的导数f′（x）=（e^x-1）+（x-m）e^x+1=（x+1-m）e^x，
由f′（x）=0得x=m-1，
由f′（x）＞0得x＞m-1，此时函数f（x）为增函数，
由f′（x）＜0得x＜m-1，此时函数f（x）为减函数，
即当x=m-1时，函数取得极小值，f（m-1）=）=-（e^m-1-1）+m，．
若m-1＜0即m＜1时，函数f（x）在[0，1]上是增函数，此时函数的最小值为f（0）=1，
若m-1＞1即m＞2时，函数f（x）在[0，1]上是减函数，此时函数的最小值为f（1）=（1-m）（e-1）+2，
若0≤m-1≤1，即1≤m≤2时，函数的最小值为f（m-1）=）=-（e^m-1-1）+m；
（2）当x＞0时，e^x-1＞0，
∴不等式f（x）＞0，等价为（x-m）（e^x-1）+x+1＞0，即m＜$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x  ①
令g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，则g′（x）=$\frac{{e}^{x}（{e}^{x}-x-2）}{（{e}^{x}-1）^{2}}$，
函数h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，
故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点．
设此零点为a，则a∈（1，2）．
当x∈（0，a）时，g′（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，g′（x）＞0；
∴g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（a）．由g′（a）=0，可得e^a=a+2，
∴g（a）=a+1∈（2，3），
由于①式等价于m＜g（a）．∴m＜2，
故整数m的最大值为2．

点评 本题考查了利用导数求函数的最小值，以及函数恒成立问题，着重考查了数学转化思想方法，考查了函数最值的求法，利用参数分离法以及分类讨论的思想是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．