精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x)?(1)求证:f(x)是周期函数;(2)若f(x)为奇函数,且当0≤x≤1时,f(x)=x,求使f(x)=-在[0,2 009]上的所有x的个数.
(Ⅰ)见解析  (Ⅱ) 502
(1)证明: ∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),
∴f(x)是以4为周期的周期函数.
(2)解: 当0≤x≤1时,f(x)=x,设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∴f(-x)=(-x)=-x.
∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x,即f(x)= x.
故f(x)= x(-1≤x≤1) 又设1<x<3,则-1<x-2<1,
∴f(x-2)=(x-2), 又∵f(x-2)=-f(2-x)=-f((-x)+2)=-[-f(-x)]=-f(x),
∴-f(x)=(x-2),∴f(x)=-(x-2)(1<x<3). 
∴f(x)=由f(x)=-,解得x=-1.
∵f(x)是以4为周期的周期函数.故f(x)=-的所有x="4n-1" (n∈Z).
令0≤4n-1≤2 009,则≤n≤,又∵n∈Z,∴1≤n≤502 (n∈Z),
∴在[0,2 009]上共有502个x使f(x)=-.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知.求的值是( )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

给出下列四个结论:①函数在其定义域内是增函数;②函数的图象关于直线对称;③函数的最小正周期是2π;④函数是偶函数.其中正确结论的序号是      .

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数
(1)试判断函数的奇偶性;
(2)解不等式.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题



(1)求的解析式;
(2)若对于实数,不等式恒成立,求t
的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

.已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.
(1)试判断f(x)的奇偶性;
(2)若-≤a≤,求f(x)的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分14分)已知函数.(Ⅰ)判断的奇偶性;(Ⅱ)设方程的两实根为,证明函数上的增函数.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知f(x)不是常函数,对于x∈R有
是(  )
A 奇函数        B  偶函数     C 既奇又偶       D 非奇非偶

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

定义两种运算:,则
是______________函数,(填奇、偶、非奇非偶,既奇又偶四个中的一个)

查看答案和解析>>

同步练习册答案