Question

14．已知四棱锥E-A BCD中，AD∥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC=1，△BCE为等边三角形，且面BCE⊥面ABCD，点F为CE中点．
（Ⅰ）求证：DF∥面ABE；
（Ⅱ）若ABCD为等腰梯形，且AB=1，求三棱锥B一CDF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BE中点M，连接AM，MF，则MF∥BC，MF=$\frac{1}{2}$BC，证明四边形ADFM是平行四边形，可得AM∥DF，即可证明：DF∥面ABE；
（Ⅱ）利用等体积转化，即可求三棱锥B一CDF的体积．

解答 （Ⅰ）证明：取BE中点M，连接AM，MF，则MF∥BC，MF=$\frac{1}{2}$BC，
∵AD∥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AD∥MF，AD=MF，
∴四边形ADFM是平行四边形，
∴AM∥DF，
∵AM?面ABE，DF?面ABE，
∴DF∥面ABE；
（Ⅱ）解：由△BCE为等边三角形，面BCE⊥面ABCD，BC=2，
可得点E到平面ABCD的距离为$\sqrt{3}$，
∴点F到平面ABCD的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵ABCD为等腰梯形，且AB=AD=DC=1，BC=2，
∴S_△BCD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴V_B-CDF=V_F-BCD=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查求三棱锥B一CDF的体积，证明四边形ADFM是平行四边形是关键．