Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90°，AB=2AD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由PD⊥平面ABCD即可得到BD⊥PD，再由BD⊥AD，根据线面垂直的判定定理即可得到BD⊥平面PAD，从而得出PA⊥BD；
（Ⅱ）首先以DA，DB，DP三直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并设PD=AD=1，从而可确定图形上各点的坐标，设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=0}\end{array}\right.$即可求得法向量$\overrightarrow{n}$，设直线PB与平面PCD所成角为θ，则根据sinθ=$|cos＜\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{n}＞|$即可求得sinθ．

解答 解：（I）PD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD；
∴PD⊥BD，即BD⊥PD；
又BD⊥AD，AD∩PD=D；
∴BD⊥平面PAD，PA?平面PAD；
∴PA⊥BD；
（II）分别以DA，DB，DP三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设PD=AD=1，则：
D（0，0，0），A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，1）；
∴$\overrightarrow{DC}=（-1，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{DP}=（0，0，1）$，$\overrightarrow{PB}=（0，\sqrt{3}，-1）$；
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=-x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=z=0}\end{array}\right.$，取y=1，∴$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，1，0）$；
记直线PB与平面PCD所成角为θ，sinθ=$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PB}＞|$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 考查线面垂直的性质及判定定理，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，平面法向量的概念及求法，以及线面角和直线方向向量和平面法向量的夹角的关系，向量夹角余弦的坐标公式．