Question

19．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足3S_n=a_n-1．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{1-{a}_{n}}$，数列{b_n}前n项的和为T_n，证明：T_n＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过3S_n=a_n-1，可得首项a₁=-$\frac{1}{2}$，3S_n-3S_n-1=a_n-a_n-1，即a_n=$-\frac{1}{2}{a_{n-1}}$，计算即可；
（Ⅱ）通过${a_n}={（-\frac{1}{2}）^n}$，利用放缩法、等比数列的求和公式计算即可．

解答 解：（Ⅰ）由3S_n=a_n-1，得a₁=S₁=-$\frac{1}{2}$，
当n≥2时，3S_n-1=a_n-1-1，
两式相减得3S_n-3S_n-1=a_n-a_n-1，即a_n=$-\frac{1}{2}{a_{n-1}}$，
∴数列{a_n}是首项a₁=-$\frac{1}{2}$，公式q=-$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴${a_n}={（-\frac{1}{2}）^n}$；
（Ⅱ）∵${a_n}={（-\frac{1}{2}）^n}$，${b_n}=\frac{{\frac{1}{4^n}}}{{1-{{（-\frac{1}{2}）}^n}}}=\frac{1}{{{4^n}-{{（-2）}^n}}}≤\frac{1}{{3•{2^n}}}$，
∴T_n=b₁+b₂+…b_n
$≤\frac{1}{3•2}+\frac{1}{{3•{2^2}}}+…+\frac{1}{{3•{2^n}}}=\frac{1}{3}•\frac{{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2^2}）}}{{1-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{3}（1-\frac{1}{2^n}）＜\frac{1}{3}$．

点评 本题考查求数列的通项、判定和的范围，注意解题方法的积累，属于中档题．