Question

11．在等差数列{a_n}中a₁=1，S_n为前n项和，且满足S_2n-2S_n=n²（n∈N^*）．
（1）求a₂及数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=n•2^a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）在等差数列{a_n}中a₁=1，设公差为d，运用等差数列的求和公式，化简整理，即可得到d=1，再由通项公式可得所求；
（2）求得b_n=n•2^a_n=n•2ⁿ，运用错位相减法，求和T_n．注意运用等比数列的求和公式．

解答 解：（1）在等差数列{a_n}中a₁=1，设公差为d，
则S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d=$\frac{d}{2}$n²+（1-$\frac{d}{2}$）n，
S_2n=2na₁+n（2n-1）d=2dn²+（2-d）n，
由S_2n-2S_n=n²（n∈N^*）．
即有S₂-2S₁=1，即a₁+a₂-2a₁=1，
可得a₂=2，
可得2dn²+（2-d）n-dn²-2n（1-$\frac{d}{2}$）=n²，
即为dn²=n²，
解得d=1，
由等差数列的通项公式
可得a_n=a₁+（n-1）d=1+n-1=n；
（2）b_n=n•2^a_n=n•2ⁿ，
T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得，
-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查等差数列的通项和求和公式的运用，同时考查数列求和方法：错位相减法，以及等比数列的求和公式的运用，属于中档题．