Question

20．等差数列{a_n}的前3项和S₃=9，且a₁、a₂、a₅成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知数列{a_n}单调递增，T_n为数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和，若T_n≤λa_n+1对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

分析 （I）根据等差等比数列得出性质运用方程组得出a₁=1，d=2，或a_n=3，d=0，求解即可得出通项公式．
（II）根据数列的单调性得出a_n=2n-1，裂项法求解T_n，分离参数得出$λ≥\frac{n}{（2n+1）^{2}}$=$\frac{1}{4m+\frac{1}{n}+4}$，运用对钩函数的单调性求解．

解答 解：（Ⅰ）设a_n=a₁+（n-1）d，S_n=na₁+$\frac{n（n-1）d}{2}$，由S₃=9，a₁+d=3，
∵a₁，a₂，a₅成等比数列，
∴a₁（a₁+4d）=（a₁+4d）²
∴a₁=1，d=2，或a_n=3，d=0
故a_n=2n-1，S_n=n²，或a_n=3，S_n=3n，
（Ⅱ）∵$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2n+1}$）
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$$-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$$-\frac{1}{2n+1}$）
∴T_n=$\frac{n}{2n+1}$，T_n≤λa_n+1对n∈N^*恒成立    
∴$\frac{n}{2n+1}$≤λ（2n+1），$λ≥\frac{n}{（2n+1）^{2}}$=$\frac{1}{4n+\frac{1}{n}+4}$
∵4n$+\frac{1}{n}$在[1，+∞） 单调递增，$\frac{1}{4n+\frac{1}{n}+4}$在[1，+∞） 单调递减；
∴n=1时，$\frac{1}{4n+\frac{1}{n}+4}$最大值为$\frac{1}{9}$；
∴$λ≥\frac{1}{9}$，即λ最小值为$\frac{1}{9}$．

点评 本题综合考查了数列的性质公式，裂项法求解数列的和，不等式的恒成立，分离参数求解问题，综合性较大，属于中档题．