Question

13．现有4人去旅游，旅游地点有A，B两个地方可以选择，但4人都不知道去哪里玩，于是决定通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪里玩，并决定掷出能被3整除的数时去A地，掷出其他的则去B地．
（Ⅰ）求这4个人中恰好有1个人去B地的概率；
（Ⅱ）求这4个人中去A地的人数大于去B的人数的概率；
（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去A，B两地的人数，记ξ=X•Y．求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用独立重复试验解决本题
（Ⅱ）设“这4个人中去A地的人数大于去B地的人数”为事件B，则B=A₃∪A₄，列式求解．
（Ⅲ）列出ξ的所有可能取值，求出各自概率和分布列．

解答 解：（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去A地旅游的概率为$\frac{1}{3}$，去B地的人数的概率为$\frac{2}{3}$，
设“这4个人恰好有i个去B地旅游”为事件B_i（i=0，1，2，3，4）
∴$P（{A}_{1}）={C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}×\frac{2}{3}=\frac{8}{81}$；
（Ⅱ）设“这4个人中去A地的人数大于去B地的人数”为事件B，则B=A₃∪A₄
∴$P（B）=P（{A}_{3}）+P（{A}_{4}）=\frac{1}{9}$
（Ⅲ）ξ的所有可能取值为0，3，4
P（ξ=0）=$P（{A}_{0}）+P（{A}_{4}）=\frac{16}{81}+\frac{1}{81}=\frac{17}{81}$
P（ξ=3）=$P（{A}_{1}）+P（{A}_{3}）=\frac{32}{81}+\frac{8}{81}=\frac{40}{81}$
P（ξ=4）=P（A₂）=$\frac{24}{81}$
∴ξ的分布列是：

ξ	0	3	4
P	$\frac{17}{81}$	$\frac{40}{81}$	$\frac{24}{81}$

Eξ=$0×\frac{17}{81}+3×\frac{40}{81}+4×\frac{24}{81}=\frac{8}{3}$

点评 本题主要考查了独立重复试验和随机变量的期望，属中档题型，高考常考题型．