Question

2．设函数f（x）=sin（2x+φ） （-π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{8}$．
（1）求f（x）的最小正周期和φ 的值．
（2）求函数y=f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期，利用正弦函数图象的对称性，求得φ的值．
（2）利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调增区间．

解答 解：（1）函数f（x）=sin（2x+φ）的最小正周期为周期为$\frac{2π}{ω}$=π．
由于y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{8}$，
令2×$\frac{π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，∴φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，又-π＜φ＜0，则φ=-$\frac{3π}{4}$．
（2）由（1）得：f（x）=sin（2x-$\frac{3π}{4}$），令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{3π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
可解得$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{8}$+kπ，k∈Z，
因此y=f（x）的单调增区间为[$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{5π}{8}$+kπ]，k∈Z．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、单调性，以及正弦函数图象的对称性，属于基础题．