Question

13．已知函数f（x²-1）=log_m$\frac{{x}^{2}}{2-{x}^{2}}$（m＞0，m≠1）
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）解关于x的方程f（x）=log_m$\frac{1}{x}$．
（3）解关于x的不等式f（x）≥log_m（3x+1）

Answer 1

分析 （1）根据题意，由f（x²-1）=log_m$\frac{{x}^{2}}{2-{x}^{2}}$，分析可得函数f（x）的解析式，求出其定义域，分析可得其定义域关于原点对称，分析f（-x）与f（x）的关系即可得答案；
（2）由（1）可得函数f（x）的解析式，结合题意可得log_m$\frac{x+1}{1-x}$=log_m$\frac{1}{x}$，即$\frac{x+1}{1-x}$=$\frac{1}{x}$，且$\frac{x+1}{1-x}$＞0，$\frac{1}{x}$＞0，解可得x的值；
（3）根据题意，有log_m$\frac{x+1}{1-x}$≥log_m（3x+1），分0＜m＜1与m＞1两种情况讨论求出log_m$\frac{x+1}{1-x}$≥log_m（3x+1）解集，综合即可得答案

解答 解：（1）根据题意，函数f（x²-1）=log_m$\frac{{x}^{2}}{2-{x}^{2}}$=log_m$\frac{（{x}^{2}-1）+1}{1-（{x}^{2}-1）}$，
则函数f（x）=log_m$\frac{x+1}{1-x}$，
有$\frac{x+1}{1-x}$＞0，解可得-1＜x＜1，
即函数f（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称，
f（-x）=log_m$\frac{1-x}{1+x}$=-log_m$\frac{x+1}{1-x}$=-f（x），
则函数f（x）为奇函数；
（2）由（1）可得：f（x）=log_m$\frac{x+1}{1-x}$，
若f（x）=log_m$\frac{1}{x}$，则有log_m$\frac{x+1}{1-x}$=log_m$\frac{1}{x}$，
即$\frac{x+1}{1-x}$=$\frac{1}{x}$，且$\frac{x+1}{1-x}$＞0，$\frac{1}{x}$＞0，
解可得：x=$\sqrt{2}$-1，
（3）若f（x）≥log_m（3x+1），即log_m$\frac{x+1}{1-x}$≥log_m（3x+1），
当0＜m＜1时，log_m$\frac{x+1}{1-x}$≥log_m（3x+1）⇒$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{1-x}≤3x+1}\\{3x+1＞0}\\{\frac{x+1}{1-x}＞0}\end{array}\right.$，解可得0≤x≤$\frac{1}{3}$；
当m＞1时，log_m$\frac{x+1}{1-x}$≥log_m（3x+1）⇒$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{1-x}≥3x+1}\\{3x+1＞0}\\{\frac{x+1}{1-x}＞0}\end{array}\right.$，解可得-$\frac{1}{3}$＜x≤0或$\frac{1}{3}$≤x＜1；
综合可得：当0＜m＜1时，f（x）≥log_m（3x+1）的解集为[0，$\frac{1}{3}$]；
当m＞1时，f（x）≥log_m（3x+1）的解集为（-$\frac{1}{3}$，0]∪[$\frac{1}{3}$，1）．

点评 本题考查对数函数的性质，涉及函数奇偶性的判断以及对数不等式的解法，关键是求出函数f（x）的解析式．