Question

5．用n（n≥2，n∈N^*）表示$（{1-\frac{1}{4}}）$（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）…（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）的值，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 猜想其结论，按照数学归纳法的证题步骤：先证明n=1时命题成立，再假设当n=k时结论成立，去证明当n=k+1时，结论也成立，从而得出命题对任意n≥2，n∈N^*，等式都成立．

解答 解：$（{1-\frac{1}{4}}）$（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）…（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）=$\frac{n+1}{2n}$，（n≥2，n∈N^*）
证明如下：（1）当n=2时，左边=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，右边=$\frac{2+1}{2×2}$=$\frac{3}{4}$，∴n=2时结论成立．
（2）假设当n=k（n≥2，n∈N^*）时等式成立，即（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）•…•（1-$\frac{1}{{k}^{2}}$）=$\frac{k+1}{2k}$，
那么当n=k+1时，（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）•…•（1-$\frac{1}{{k}^{2}}$）•（1-$\frac{1}{（k+1）^{2}}$）
=$\frac{k+1}{2k}$•（1-$\frac{1}{（k+1）^{2}}$）=$\frac{k+1}{2k}$-$\frac{1}{2k（k+1）}$=$\frac{k+2}{2（k+1）}$
∴当n=k+1时，等式也成立，
根据（1）和（2）知，对任意n≥2，n∈N^*，$（{1-\frac{1}{4}}）$（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）…（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）=$\frac{n+1}{2n}$成立

点评 本题考查数学归纳法，考查推理证明的能力，假设n=k（k∈N^*）时命题成立，去证明则当n=k+1时，用上归纳假设是关键，属于中档题．