Question

已知圆C的方程为：x²+y²=4
（1）求过点P（2，1）且与圆C相切的直线l的方程；
（2）直线l过点D（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB|=2

3

，求直线l的方程；
（3）圆C上有一动点M（x₀，y₀），

ON

=（0，y₀），若向量

OQ

=

OM

+

ON

，求动点Q的轨迹方程．

Answer 1

（1）当k不存在时，x=2满足题意；
当k存在时，设切线方程为y-1=k（x-2），
由

|2-k|

k2+1

=2得，k=-

3

4

，
则所求的切线方程为x=2或3x+4y-10=0；
（2）当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，l与圆的两个交点坐标为（1，

3

）和（1，-

3

），这两点的距离为2

3

，满足题意；
当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
设圆心到此直线的距离为d，
∴d=

22-( 2 3 2 )2

=1，即

|2-k|

k2+1

=1，
解得：k=

3

4

，
此时直线方程为3x-4y+5=0，
综上所述，所求直线方程为3x-4y+5=0或x=1；
（3）设Q点的坐标为（x，y），
∵M（x₀，y₀），

ON

=（0，y₀），

OQ

=

OM

+

ON

，
∴（x，y）=（x₀，2y₀），
∴x=x₀，y=2y₀，
∵x₀²+y₀²=4，
∴x²+（

y

2

）²=4，即

x2

4

+

y2

16

=1．