Question

【题目】如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC的中点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．

（Ⅰ）求三棱锥P﹣ABD的体积．
（Ⅱ）在∠ACB的平分线所在直线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求此时PQ的长．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知可得：
三棱锥P﹣ABD的底面ABC中，AC=BC=4，AC⊥BC，
高PA=4，
故三棱锥P﹣ABD体积V= × ×4×4×4= ；
（Ⅱ）解：如图取AB的中点O，连接CO并延长至Q，使得CQ=2CO，点Q即为所求．

因为O为CQ中点，所以PQ∥OD，
因为PQ平面ABD，OD平面ABD，所以PQ∥平面ABD
连接AQ，BQ，四边形ACBQ的对角线互相平分，
所以ACBQ为平行四边形，所以AQ=4，…（11分）
又PA⊥平面ABC，
所以在直角△PAQ中，PQ= =4 ．
【解析】（Ⅰ）由已知中的三视图，得到棱锥的底面边长和高，代入棱锥体积公式，可得答案；（Ⅱ）取AB的中点O，连接CO并延长至Q，使得CQ=2CO，利用线面平行的判定可知点Q即为所求，证明ACBQ为平行四边形，即可求出PQ的长
【考点精析】关于本题考查的由三视图求面积、体积和直线与平面平行的判定，需要了解求体积的关键是求出底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面的面积；平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能得出正确答案．