Question

【题目】如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2： 在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为 ．
（1）求抛物线C1的方程；
（2）过A点作直线L交C1于C、D两点，求线段CD长度的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，焦点在轴，顶点A（4，0），

∵△OAB的面积为 ，S△OAB= xAyB= ，

∴yB= ，

将yB= ，代入椭圆方程得xB= ，

∴B点坐标为（ ， ），

将B点坐标代入抛物线方程：求得（ ）2=2P× ，解得p=4，

∴抛物线C1的方程是：y2=8x

（2）解：抛物线C1y2=8x的焦点为A（2，0）．

设C（x1，y1），D（x2，y2），直线CD的方程为：x﹣4=my，将直线方程代入y2=8x，得：y2﹣8my﹣32=0，

由韦达定理可知：y1+y2=8m，y1y2=﹣32，

∴丨CD丨= = ，

=8 ，

=8 ，

∴当m2=0时，CD长度取最小值，最小值为8

【解析】（1）根据三角形面积公式求得B点的纵坐标，代入椭圆方程，求得B点横坐标，代入抛物线方程求p的值，即可写出抛物线方程；（2）设出C和D点的坐标及直线CD的方程，代入抛物线方程，求得关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系，写出y1+y2和y1y2的表达式，根据抛物线弦长公式，求得CD的最小值．