Question

3．等比数列{a_n}中，a₁+a₄=133，a₂+a₃=70，则这数列的公比为$\frac{2}{5}$或$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q，依题意$\frac{{a}_{1}+{a}_{4}}{{a}_{2}+{a}_{3}}$=$\frac{{a}_{1}（1+{q}^{3}）}{{a}_{1}（q+{q}^{2}）}$=$\frac{1-q+{q}^{2}}{q}$=$\frac{133}{70}$，于是可求得该数列的公比．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₁+a₄=133，a₂+a₃=70，
∴$\frac{{a}_{1}+{a}_{4}}{{a}_{2}+{a}_{3}}$=$\frac{{a}_{1}（1+{q}^{3}）}{{a}_{1}（q+{q}^{2}）}$=$\frac{（1+q）（1-q+{q}^{2}）}{q（1+q）}$=
$\frac{1-q+{q}^{2}}{q}$=$\frac{133}{70}$，
整理得：q²-2.9q+1=0，
解得：q=$\frac{2}{5}$或q=$\frac{5}{2}$，
故答案为：$\frac{2}{5}$或$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式的应用，考查立方和公式的应用，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．