Question

12．设函数f（x）是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f（x）在x=2.5处的切线的斜率为0．

Answer 1

分析 偶函数有f（-x）=f（x），f（x）是R上以5为周期，即有（x+5）=f（x）=f（-x），则y=f（x）的图象关于直线x=2.5对称，即有x=2.5为函数f（x）的极值点，极值点处导数为零．

解答 解：∵f（x）是R上可导偶函数，
∴f（-x）=f（x），
又∵f（x）的周期为5，即有f（x+5）=f（x），
∴f（x+5）=f（-x），
则y=f（x）的图象关于直线x=2.5对称，
即有x=2.5为函数f（x）的极值点，
∴f′（2.5）=0，即曲线y=f（x）在x=2.5处的切线的斜率0，
故答案为：0．

点评 本题考查函数切线斜率的计算，利用函数的周期性、奇偶性、导数的几何意义、极值点满足的条件是解决本题的关键．