Question

9．求棱长为8的正三棱锥的表面积和体积．

Answer 1

分析 由正四面体的棱长为8，所以此四面体一定可以放在棱长为4$\sqrt{2}$的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的半径，再代入面积公式、体积公式计算．

解答 解：∵正四面体的棱长为8，
∴此四面体一定可以放在正方体中，
∴我们可以在正方体中寻找此四面体．
如图所示，四面体ABCD满足题意，BC=8，
∴正方体的棱长为4$\sqrt{2}$，
∴此四面体的外接球即为此正方体的外接球，
∵外接球的直径=正方体的对角线长，
∴外接球的半径为R=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{6}$，
∴球的表面积S=4π•24=96π；
球的体积为V=$\frac{4}{3}π•（2\sqrt{6}）^{3}$=64$\sqrt{6}$π．

点评 本题考查几何体的接体问题，考查了空间想象能力，其解答的关键是根据几何体的结构特征，求出接体几何元素的数据，代入面积、体积公式分别求解．