Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=1，AA₁=2，点M、N、P分别是棱AB、BC、DD₁上的点，

（1）若DP=DD₁，且PB⊥面MNB₁，求二面角M-B₁N-B的大小；

（2）棱DD₁上是否存在点P，使面APC₁⊥面ACC₁，证明你的结论.

Answer 1

思路分析：将立体几何问题转化为空间向量问题来解决.

解：(1）如图建立直角坐标系，则A（1,0,0），B（1,2,0），C（0,2,0），C₁（0,2,2），P（0,0,）.

∴=（-1,-2,），=（1,-2,0），=（0,0,2）.

∵BP⊥面MNB₁，∴=（-1,-2,）为面MNB₁的法向量.

    又∵面BNB₁的单位法向量e=（0,1,0），

∴cos〈，e〉==-

∴〈，e〉=π-arccos,

    即二面角M-B₁N-B的大小为π-arc cos.

(2）设面APC₁⊥面ACC₁，P（0,0,a）.作CH⊥AC₁，垂足为H.

∵A、H、C₁三点共线，

∴+(1-λ)=λ(1,-2,0)+(1-λ)(0,0,2)=(λ,-2λ,2-2λ).

∵CH⊥AC₁，∴·=（λ,-2λ,2-2λ)·（-1,2,2）=0.

∴λ=.∴=(）.

∵面APC₁⊥面ACC₁，CH⊥AC₁，

∴CH⊥面APC₁,∴CH⊥AP.

∴=()·(-1,0,a)=0.∴a=.

∴存在点P（0,0,），使面APC₁⊥面ACC₁.

方法归纳 建立空间直角坐标系是运用向量法解题的基本手段之一，往往用于图形中存在互相垂直且相交的直线的前提下，如长方体、正方体.