Question

【题目】已知椭圆与抛物线共焦点，抛物线上的点M到y轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点Q满足．

（I）求抛物线的方程和椭圆的方程；

（II）过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于、 两点，求此切线在x轴上的截距的取值范围．

Answer 1

【答案】（I）． （II）．

【解析】试题分析：（I）根据抛物线上的点M到y轴的距离等于，可知点M到直线的距离等于点M到焦点的距离，由此求得且.由抛物线的定义及可求得点坐标，根据椭圆的定义求出，并由此求出椭圆的标准方程.（II）联立直线的方程和抛物线的方程，利判别式等于零得到的一个等量关系.联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式大于零求得的取值范围.求出截距的表达式，利用得取值范围可求得截距的取值范围.

试题解析：

（I）∵抛物线上的点M到y轴的距离等于，

∴点M到直线的距离等于点M到焦点的距离，

得是抛物线的准线，即，

解得，∴抛物线的方程为；

可知椭圆的右焦点，左焦点，

由抛物线的定义及，得，

又，解得，

由椭圆的定义得 ，

∴，又，得，

∴椭圆的方程为．

（II）显然， ，

由，消去x，得，

由题意知，得，

由，消去y，得，

其中 ，

化简得，又，得，解得，

切线在x轴上的截距为，又，

∴切线在x轴上的截距的取值范围是．